Unsharp masking

Anche il filtro di "unsharp masking" o "maschera sfuocata" può essere classificato come un filtro differenziale come quelli già qui descritti in precedenza, il Median Coma Model e il Larson-Sekanina. Data infatti un'immagine $ f(x,y) $, è possibile sottrarre da essa un'altra immagine, ricavata dalla stessa, ma opportunamente sfuocata $ f_S (x,y) $ ed ottenere la così detta "maschera" $ g_M(x,y) $:
\begin{equation}
g_M(x,y) = f(x,y) - f_S (x,y)
\end{equation}
La sfuocatura può essere applicata sia con un filtro mediano, con un gaussiano o anche un laplaciano: le variazioni su grande scala sull'immagine originale non vengono intaccate da questi filtri, mentre i dettagli più fini sì, vengono per l'appunto "sfuocati". La "maschera" comporta il passo successivo per ottenere l'immagine finale $ g_F(x,y) $ opportunamente filtrata:
\begin{equation}
g_F(x,y) = f(x,y) - k \times g_M (x,y)
\end{equation}
Sempre nel caso del nostro programma di riferimento Astroart, il coefficiente $ k $ è per l'appunto il valore indicato con "coefficient" nella finestra dell' unsharp masking (vedi figura sotto), mentre il parametro "sigma" richiesto dalla stessa finestra determina l'entità della sfuocatura: maggiore è sigma e maggiore è la sfuocatura applicata alla maschera.

Come tutti i filtri anche l'unsharp masking tende a creare degli artefatti: quello particolarmente fastidioso per le immagini astronomiche viene spesso indicato con il termine dark ring o black ring, che consiste in un vistoso anello nero che avvolge le stelle più luminose dell'immagine filtrata.

Al centro gli artefatti "dark ring" conseguenti all'unsharp masking dell'immagine originale di sinistra. A destra lo stesso unsharp masking con attivata l'opzione "adattiva".

Gli artefatti ad anello sono dovuti alla sottrazione della maschera sfuocata che in certi punti può generare (anzi, certamente genera!) dei valori negativi. Per ovviare a questo è stata prevista un'ulteriore opzione: "adattiva" (o "adaptive") che tronca per l'appunto questi valori negativi riportandoli a zero.

Il filtro di Larson-Sekanina

E' senza dubbio il filtro più utilizzato per lo studio morfologico delle chiome cometarie. Descritto per la prima volta in un articolo dell'Astronomical Journal del 1984 degli astronomi Steven M. Larson del Lunar and Planetary Laboratory in Arizona e Zdenek Sekanina del Jet Propulsion Laboratory in California, consiste essenzialmente nel calcolare la differenza tra l'immagine originale e una sua nuova versione che è stata leggermente ruotata o spostata radialmente rispetto ad un punto centrale di riferimento (il falso nucleo della cometa). Questo filtro permette di rilevare variazioni luminose in piccola scala e in tutte le direzioni ripetto al nucleo dell'immagine originale. Una descrizione più dettagliata dell'algoritmo e utile per essere riprodotta con altri programmi di calcolo, la si può trovare qui in italiano, oppure qui in inglese.

I parametri che ne permettono l'utilizzo sono due: $ r $, in pixel e l'angolo $ \alpha $, in gradi.

Entrambi i parametri possono essere variati contemporaneamente ma possiamo capirne meglio il funzionamento se ne fissiamo uno a zero e variamo l'altro. Otteniamo così due casi:

• $ r $ = 0. 
  Variamo quindi solo l'angolo $ \alpha $. (normalmente  $ \alpha $ è compreso tra i 0° e i 15°)  Si aumenta il contrasto di tutti i particolari che hanno un gradiente angolare di luminosità rispetto all'origine del nostro sistema polare di coordinate (il falso nucleo); i particolari che si evidenziano sono in genere i jet o i vari dettagli dell'origine della coda cometaria. In figura é evidente il principale che da origine alla coda e che attraversa tutto il quadrante in alto a sinistra dell'immagine.
  Questo gradiente, calcolato in corrispondenza dei punti P-P1 e P-P2, esalta il contrasto della struttura principale che forma la coda in uscita dal nucleo della cometa, mentre dalla parte opposta a seconda della scala dell'immagine e dell'evento, può evidenziare delle deboli strutture a fontana provenienti da punti ad elevata attività sulla superficie del nucleo. L'angolo di rotazione $ \alpha $ deve essere scelto accuratamente ed accertarsi che tutte le strutture siano correttamente evidenziate: infatti, se l'angolo è troppo piccolo, la struttura nell'immagine originale può sovrapporsi a quella nell'immagine ruotata producendo così una struttura più sottile di quella che è nella realtà; di contro, se l'angolo è troppo grande è molto probabile imbattersi in artefatti e quindi in strutture non reali. 
  
  

  

  r = 0

  $ \alpha $ = 0.
  Per spostamenti rotazionali nulli, modificando il valore di $ r $ (generalmente da zero a qualche pixel), si aumenta il contrasto di tutti i particolari che hanno un gradiente radiale di luminosità rispetto al falso nucleo. Essendo nulli gli spostamenti rotazionali, tutti i jet che si protendono dal nucleo verso l'esterno non sono più visibili. Questo tipo di elaborazione permetterà invece di mettere in evidenza aloni, strutture a spirale e gusci di polvere e gas che compongono gli strati più interni della chioma. 
  
  

  

  α = 0

Il filtro di Larson-Sekanina è molto potente nell'evidenziare la presenza di eventuali strutture nascoste della chioma cometaria. Tuttavia occorre prestare grandissima attenzione nell'uso dei due parametri e ricordarsi che trattandosi di un filtro "differenziale" cioè basato sulla differenza di due immagini, esso può essere considerato come una "derivata" in tutte le direzioni della funzione che rappresenta l'immagine $ f(x,y) $ e come tale quindi, l'immagine filtrata rappresenta una mappa delle variazioni di luminosità all'interno della struttura cometaria e non delle strutture stesse.

Si tratta dunque di variare i parametri $ r $ e $ \alpha $: prestando attenzione a non generare eventuali artefatti; questo problema si può almeno in parte evitare variando i parametri entro un certo range stabilito e un determinato passo di variazione (es.$ 0.1 < r < 2.0 $ con passi di 0.1 pixel), salvare le immagini filtrate così ottenute e quindi mediarle tutte insieme.

Qui sotto un breve filmato sull'utilizzo del filtro con il programma Astroart 5.0:

Il rapporto segnale-rumore (SNR)

A causa della natura quantistica della luce, il rilevamento dei fotoni (con un dispositivo come il CCD) è sempre un processo casuale dominato dalla statistica di Poisson: la distribuzione poissoniana (dal matematico francese Simeon Poisson, 1781-1840).
La distribuzione di Poisson è più comunemente utilizzata per modellare il numero di eventi casuali di alcuni fenomeni in un'unità specificata di spazio o di tempo: è come una distribuzione gaussiana (a campana) con la larghezza determinata dalla radice quadrata del numero totale di conteggi . Quando si cerca di misurare un evento poissoniano come un fotone rilevato da una camera CCD, il rumore di conteggio associato è dato dalla radice quadrata del segnale, quindi il rumore N associato ad un segnale S è √ S ​​e il rapporto segnale rumore (o S / N o SNR) è:

Questa relazione fondamentale è la chiave per capire come il rumore influenza la nostra osservazione: in realtà questo rapporto mostra il limite naturale superiore del SNR. Non fa differenza se un oggetto è luminoso o debole o se prendiamo esposizioni lunghe o corte con telescopi grandi o piccoli: tutto dipende da quanti fotoni (S), siamo in grado di raccogliere: il SNR non potrà mai essere superiore a √ S .
In realtà ci sono altre fonti di rumore in una immagine CCD che mantengono il SNR del nostro oggetto di interesse inferiore al limite teorico di √ S.
 Ecco un elenco dei più importanti di essi:
• Rumore di lettura (readout noise): è il numero di elettroni per pixel introdotti nel segnale finale sulla lettura del dispositivo CCD. Valori tipici nei moderni CCD sono entro i 10 elettroni / pixel;
• Rumore termico (dark count): è il numero di elettroni termici generati al secondo per pixel ad una temperatura specifica. I valori tipici sono pochi elettroni o frazioni di elettroni al secondo nel caso CCD raffreddato;
• Rumore di fondo (background noise): non si tratta di un rumore strumentale, ma è di grande importanza. L'inquinamento luminoso del fondo cielo, sia artificiale che naturale, come la presenza della luna, contribuiscono al segnale di fondo raccolto dal CCD, ma questi non si traducono in un aumento del segnale dell'oggetto di nostro interesse.
• Rumore di processing: ogni volta che fate un po 'di elaborazione delle immagini di base, come la sottrazione del dark frame e la divisione per il flat field si combinano i numeri incerti con altri numeri incerti. Dal momento che, in generale, si tratta di fonti indipendenti di rumore, il rumore totale finale si sommerà quadraticamente. Ad esempio, se abbiamo rumore da tre sorgenti con valori N1, N2 e N3, il rumore totale sarà:

Facciamo un esempio con i numeri reali per vedere, quanto il rumore di fondo potrebbe influire sul rumore complessivo di un'immagine e degradare la qualità dell'immagine stessa.
Supponiamo, per semplicità, che il seeing sia talmente buono da far cadere la nostra fonte di segnale (una stella) completamente all'interno di un pixel. Il segnale complessivo accumulato dal pixel è di 900 conteggi: 400 di loro provengono dal fondo cielo mentre 500 provengono dalla luce della stella. La combinazione stella+cielo ha un rumore di √ 900 = 30 conteggi su quel pixel e questo darebbe un SNR di 900/30 = 30. Ma questo non è il modo corretto per valutare l'SNR. Il segnale della nostra fonte è infatti di 500 conteggi, dunque una stima migliore del SNR è 500/√900 = 16,7. In realtà, il vero SNR è ancora più basso: poiché non abbiamo alcun modo di sapere che il fondo cielo è esattamente di 400 conteggi (lo sfondo del cielo è a sua volta influenzata dal rumore poissoniano!) dobbiamo aggiungere il contributo del rumore dal cielo (√ 400 = 20) a quello della stella più il rumore del fondo cielo ancora (√400+500 =30 ), allora si ha:

Questo significa che siamo in grado di misurare la luminosità della stella con una precisione di ± 1/13.8 ovvero circa ± 7%.
Ma cosa succede se cerchiamo di prendere le immagini della stella stessa sotto un cielo luminoso urbano dove lo sfondo è, per esempio, 5000 conteggi invece di 400? Seguendo l'esempio precedente abbiamo ora:

Ora la stella è appena visibile: infatti un valore tipico del SNR per una stella rilevabile è ≥ 3, e siamo in grado di misurare la sua luminosità con una precisione di ± 20% soltanto. In pratica, tuttavia, altre fonti di rumore come rumore di lettura e rumore termico abbasserà ancora di più questo valore.
L'esempio precedente serve spiegare perché si puossono vedere stelle più deboli (e/o dettagli di nebulose) sotto un cielo più scuro: è semplicemente e sempre una questione di SNR.
Una delle equazioni più utilizzati per descrivere il SNR è quello di Merline & Howell (1995, Expt Astron, 6, 163):

Dove:

N_s = numero dei fotoni (segnale) per pixel raccolti dall'oggetto in esame;
N_B = numero dei fotoni per pixel provenienti dal fondo cielo;
N_D = numero di elettroni per pixel generati dalla corrente di buio;
N_R = numero di elettroni per pixel generati dal rumore di lettura (readout noise);
n_pix = numero dei pixels implicati nel calcolo di ogni termine di rumore;
n_B = numero dei pixel di fondo cielo utilizzati nella stima del livello medio di fondo cielo;
G = guadagno (gain) del CCD (electroni/ADU)
σf² = stima dell'errore 1-sigma introdotto dal convertitore A/D: il suo valore può essere approssimato a 0.289.


Vediamo un esempio pratico con qualche numero reale. Il CCD è un SITe502 con queste caratteristiche (dalla scheda tecnica del modello Apogee AP7p):

G = 4.4 elettroni / ADU
N_R = 10.2 elettroni
N_D = 1.4 elettroni / pixel / secondo (a temp. -27 Gradi.)

Supponiamo una esposizione di 60 secondi ad una temperatura di -27 gradi e, per semplicità, che la scala immagine CCD è di 3 arcsec / pixel e che il seeing sia tale da permettere al segnale proveniente dalla stella di ricadere completamente nel raggio di 1 pixel: dopo la sottrazione del valore del fondo cielo, nel nostro pixel troviamo N_s = 12015 ADU ∙ G = 12015 ∙ 4,4 = 52866 elettroni. Supponiamo anche di misurare il il fondo cielo all'interno di una box di 20x20 pixel vicino alla stella e che si trovi un valore medio di 3215 ADU / pixel (quindi N_B = 3215 ∙ G = 14146 elettroni).
Sostituendo questi valori nella Eq. 2 si ottiene (si noti che tutti i valori utilizzati sono espressi in elettroni, non in ADU):

Con questi numeri si può facilmente notare che se si ignora il secondo termine al divisore, il SNR assume il valore ideale di un puro rumore di Poisson:

e che, se prendiamo in considerazione le condizioni del fondo cielo, la corrente di buio e il rumore di lettura solo abbiamo ancora:

Si noti che è possibile utilizzare la seguente formula semplificata senza fare un grande errore:

Oppure, se siamo interessati a una previsione del valore SNR che può essere ottenuto per un dato sistema CCD e un tempo di integrazione t, l' Eq. 3 può essere scritta come:

dove N_s, N_B e N_D, ora sono da intendersi come conteggi in elettroni (fotoni) al secondo se t è espresso in secondi. Questa equazione illustra una regola empirica preziosa relativa SNR di un'osservazione: il SNR è proporzionale a √ t e non di t stesso.

Il filtro M.C.M.: un altro esempio

Per illustrare meglio la funzionalità e l'efficacia del filtro M.C.M., analizziamo un'immagine ripresa da Nick Howes al Faulkes Telescope North (un telescopio completamente remotizzato di 2 m. di diametro posto alle Hawaii presso l'Haleakala Observatory e gestito dall'organizzazione LCOGT). La cometa oggetto della ripresa stavolta è la C/2007 Q3 (SIDING SPRING).


Anche in questo caso come è possibile notare dalla traccia delle stelle fisse, si tratta in realtà di un'immagine composta dalla somma di 11 frames ripresi con un normale filtro rosso (di Bessel) a banda larga. Ma la cosa notevole di questa immagine è il campionamento: 0.2785 arcosecondi/pixel con un seeing medio di 1.3 secondi d'arco! (In realtà abbastanza normale per il cielo delle Hawaii). Fantastico! Sembra che i "prof" del FTN abbiano preso alla lettera le mie considerazioni sul principio di Nyquist. Si tratta dunque di una serie di immagini riprese in condizioni che noi poveri astrofili italiani ben difficilmente possiamo ritrovare (compreso il telescopio da 2 metri...).
Ebbene se applichiamo il filtro M.C.M. alla chioma di questa cometa, ecco cosa scopriamo:


Nella breve sequenza qui sopra possiamo notare in bianco e nero l'immagine originale e in falsi colori la relativa trasformazione dopo l'applicazione del filtro. Appare evidentissimo nella parte in basso a destra la presenza del frammento distaccatosi dal nucleo della cometa, accompagnato da un'area di forte attività.

Nel filmato che segue viene riportata una sequenza più lunga formato dalle immagini riprese il 17-20-27 marzo e 2-12 aprile: è possibile notare la progressiva attenuazione dell'evento.

Mentre, per chi capisce l'inglese decisamente stretto di Nick Howes, ecco una sua intervista a riguardo su YouTube:




Infine vi riporto alcune considerazioni di Giannantonio Milani, responsabile della Sezione di Ricerca Comete UAI e coordinatore del gruppo CARA, riguardo all'utilizzo e al funzionamento del filtro M.C.M.:

In linea teorica un nucleo sferico che emette polveri in tutte le direzioni a velocità e quantità costante dovrebbe creare una chioma perfettamente simmetrica e , in questi caso, se applicassimo il filtro MCM otterremmo una chioma "regolare" sostanzialmente identica all'originale.
Ma l'effetto di accelerazione dovuto alla pressione di radiazione solare sui grani di polvere e il fatto che i nuclei cometari non emettano gas e polveri in modo isotropo, rende spesso le chiome cometarie tutt'altro che simmetriche. A questo possiamo anche aggiungere gli effetti dovuti alla prospettiva e al modo in cui la nostra linea di vista e' posizionata rispetto al Sole a e ai dettagli della chioma.
L'MCM, creandoci una chioma "regolare", che rappresenta l'andamento medio della chioma reale, ci permatte di mettere in evidenza anche piccolissime disomogeneità nella chioma.
Spesso potremo avere un eccesso di luminosita' in direzione del Sole, in corrispondenza del lato diurno del nucleo maggiormente eccitato dalla radiazione solare.
Ma a volte, ad esempio in presenza di fenomeni di disgregazione del nucleo, potremmo anche trovare un eccesso di luminosità in direzione della coda.
L'interpretazione non è mai semplice o scontata ed è resa più complessa dal fatto che generalmente le osservazioni sono effettuate con filtri a banda larga (BVRI o RGB) che non discriminano in modo rigoroso tra emissioni gassose e polveri.
Nel blu e verde nelle comete attive avremo spesso una forte contaminazione gassosa, nel rosso dominerà più la polvere ma possono essere presenti ancora emissioni sia nella chioma che nella coda.
Interpretazioni di immagini senza filtri sono ancora più problematiche perchè per nulla selettive.
Risultati più incisivi da un punto di vista scientifico richiederebbero l'utilizzo di filtri a banda stretta che però comportano diversi problemi aggiuntivi, anche di calibrazione, ed il fatto di dover avere una cometa luminosa per raggiungere un elevato rapporto segnale/rumore.
L' MCM non fornisce di norma un andamento 1/r ma ci si può aspettare che in generale non se ne discosti troppo, salvo in caso di eventi peculiari come frammentazioni del nucleo, outburst, ecc..
la formula più corretta potrebbe essere 1/r^n con n=1 se ovviamente fossimo uguali a 1/r.
In caso di evidenti disomogeneità però non rispetterà esattamente neppure questa formula, che sarà tuttavia indicativa.

Il filtro M.C.M. (normalizzazione radiale)

M.C.M. è l'acronimo di Median Coma Model che possiamo tradurre in "modello mediano della chioma". E' conosciuto anche con il nome di "normalizzazione radiale".
Lo scopo di questo filtro è quello di creare, partendo da un'immagine di una cometa $ f(r,\theta) $ (in un sistema di coordinate polari), un modello sintetico della chioma "regolare" $ g(r,\alpha) $, cioè ottenuto mappando, in senso radiale con dei cerchi concentrici di raggio $ r $, tutti i pixel dell'immagine che la compongono e mediandoli tra loro: così facendo si eliminano tutte le eventuali "disuniformità" morfologiche contenute nella chioma stessa.
\begin{equation} g(r,\alpha) =\frac{\sum_{\theta=0}^{360} f(r,\theta)}{C_{r}} \end{equation} dove $ C_{r} $ rappresenta il numero di pixel contenuti nel cerchio di raggio $ r $, centrato sul nucleo della cometa. Questa chioma "regolare" verrà successivamente sottratta dall'immagine originale mettendo in evidenza tutti quei particolari che normalmente sono immersi nella luminosità uniforme della chioma.

Come si installa
Si installa come tutti i plug-in di Astroart. Semplicemente scaricate il plug-in con l'immagine d'esempio qui e copiate il file picoma9.dll all'interno della cartella principale del programma (solitamente la cartella C:\Programmi\MSB\Astroart). Quando rilancerete il programma, nel menu Plug-in comparirà la nuova voce MedComet Coma Model.

Come si utilizza
Ovviamente la prima cosa da fare è caricare un'immagine di una cometa, possibilmente con un buon rapporto segnale-rumore. Potete utilizzare quella contenuta nel pacchetto del plug-in appena scaricato (Bq2@650.fit) della C/2004Q2 (Machholz) se non ne avete già una in archivio.


Questa immagine è stata ripresa all' Osservatorio di Cavezzo il 3 gennaio del 2005 con una camera CCD della Apogee, la Ap7p con 512x512 fotoelementi quadrati da 24 micron, al fuoco Newton 0.4m. f/5.5 e con filtro interferenziale centrato sui 650nm con banda passante di 10nm (per isolare la sola emissione delle polveri). Si tratta in realtà della somma di 30 immagini da 30 secondi per un totale d'integrazione di 900 secondi. Il Nord è in alto e l'Est a sinistra. Il campionamento dell'immagine è di 2,24 secondi d'arco per fotoelemento. Nonostante il potere risolutivo (teorico) dell'apertura del telescopio (limite di Dawes = 0,3") siamo parecchio sottocampionati (2,24"/pixel appunto contro i necessari 2,5/4=0,625"/pixel). Per di più il seeing medio in questa serie di immagini è di circa 2,5 secondi d'arco (confrontabile con il campionamento) quindi sarebbe stato comunque inutile campionare per risolvere il limite di Dawes (0,3/4 = 0,075 arcsec/pixel). La cometa era distante 0,349 U.A. dalla Terra, quindi sul piano dell'immagine corrisponde ad una scala di 568 km per pixel. Dato che che il nostro campionamento coincide circa con il seeing medio, non riusciamo nemmeno a risolvere quest'ultimo, dunque con ogni probabilità i più piccoli dettagli risolvibili in questa immagine saranno intorno ai 568x4 = 2272 km (ricordiamo che il "x 4" deriva dal teorema di Nyquist "modificato" ). Diciamo dunque che, molto conservativamente, avremo una risoluzione intorno ai 2000 km circa.
Fatte tutte queste premesse, comunque indispensabili per capire la scala dei fenomeni che andremo a vedere, lanciamo il plug-in del M.C.M.: ci troveremo una finestra di dialogo così:


Per il momento non scriviamo niente. Posizioniamo il cursore intorno al centro della chioma e muoviamolo lentamente: non appena si trasforma in un piccolo cerchietto facciamo click con il mouse. Il cerchietto identifica la zona del baricentro fotometrico della chioma e il click ne fissa in memoria le coordinate. Ora facciamo click sul pulsante "Get from image" e vedremo che le caselle di testo X,Y verranno automaticamente compilate con le coordinate memorizzate. Lasciamo inalterato il valore "New value": questo ci permetterà di visualizzare con un piccolo puntino nero la probabile posizione del falso nucleo della cometa nell'immagine del modello della chioma. Eventualmente, se non vogliamo questo, possiamo inserire il valore (in ADU) che leggiamo in corrispondenza del pixel memorizzato. Il valore "Max Radius" è sarà il raggio massimo del modello della chioma che vogliamo creare. Con la grandezza del nostro sensore di 512x512 pixel e considerando il fatto che con ogni probabilità il campo coperto in questa immagine è completamente occupato dalla chioma della cometa, possiamo tranquillamente impostare un valore di 250 pixel. Possiamo renderci conto del piccolo campo inquadrato rispetto alla totalità della cometa, confrontando la nostra immagine con una delle tante a largo campo fatte nella stessa data nello splendido archivio della Sezione Comete UAI, ideato e poi gestito per tanto tempo dall'infaticabile Rolando Ligustri e ora manutenuto dal bravissimo Walter Borghini.

Questa immagine di Rolando Ligustri della cometa C/2004Q2 (Machholz), fatta sempre il 3 gennaio 2005, copre un campo di 3,6x2,2 gradi. Il riquadro in rosso corrisponde all'incirca al campo di 20'x20' coperto dalla nostra immagine in esame. In questa bellissima immagine di Rolando si possono notare le due code: quella lunga, sottile e leggermente disconnessa verso Est (a sinistra) è la coda di gas, mentre quella più ampia e regolare verso sud (in basso) è quella di polveri.

E' evidente che la chioma della cometa è ben più ampia di quella ripresa nella nostra immagine, tuttavia a noi interessa mettere in evidenza le eventuali strutture in piccola scala nell'intorno del falso nucleo. Applichiamo dunque il plug-in con i parametri già riportati sopra. Otteniamo una nuova immagine con la rappresentazione del modello di chioma.

Le stelle sono scomparse (e così deve essere in quanto il modello "mediano" della chioma deve eliminare tutte le disuniformità, anche quelle che non appartengono alla chioma). Abbiamo un modello di chioma regolare con un andamento classico 1/r, come possiamo facilmente constatare attraverso la funzione Profilo del programma Astroart:


La particolarità di questo modello sintetico di chioma cometaria è che non è stato ricavato da una semplice legge matematica, come appunto può essere la funzione iperbole I = 1/r del modello classico, bensì è stata ricavata dai valori originali della nostra immagine opportunamente mediati lungo cerchi concentrici. La cosa non è banale, perchè noi non sappiamo a priori quale degli infiniti andamenti 1/r può assumere la chioma. Notiamo inoltre che, anche se in questo caso poco vistosamente, i due rami d'iperbole non sono simmetrici rispetto il centro della chioma: praticamente per ogni direzione del profilo che noi consideriamo otteniamo diversi valori dell'andamento 1/r.

Basta fare una semplice rappresentazione cartesiana di soli tre di questi andamenti per rendersene conto:

Abbiamo dunque ottenuto un modello di chioma che si adatta perfettamente a quello della chioma originale. Ora possiamo sottrarlo all'immagine originale. Si seleziona l'immagine originale (semplicemente cliccando sulla sua finestra) e si esegue il comando dal menu Aritmetica -> Sottrai. La nuova immagine, molto scura, va visualizzata con i livelli corretti: il modo più veloce è quello di attivare i livelli automatici con un semplice click sulla barra di stato grigia della finestra immagine (quella in basso dove compaiono i numeri delle soglie di visualizzazione), oppure si può procedere manualmente con i cursori posti sulla banda dei grigi nella parte destra del desktop di Astroart.


Come si interpreta
Qui viene il difficile. Cosa stiamo osservando? Qui veramente ci avviciniamo ad un argomento un po' pericoloso in quanto non è difficile fare delle speculazioni completamente errate. dobbiamo sempre ricordare che stiamo osservando un oggetto tridimensionale proiettato su un piano bidimensionale (l'immagine CCD appunto) al quale abbiamo sottratto un modello di chioma ricavato dall'immagine proiettata. Proviamo ad applicare una palette in falsi colori:



La palette in falsi colori (denominata "Arcobaleno" nelle palette di Astroart) associa i colori più caldi (bianco-giallo-rosso) alle intensità luminose più elevate e i colori più freddi (verde-blu-nero) alle luminosità via via inferiori e mostra chiaramente due cose:

1. Su larga scala, la parte destra dell'immagine (verso ovest) i pixel hanno una colorazione nero blu: se si scorre con il cursore si può chiaramente constatare che questo corrisponde a valori (in ADU) negativi, quindi la presenza di polveri della cometa in quella zona è decisamente inferiore a quella contenuta nel modello di chioma creato (prendendo come "zero" il valore corrispondente alla sottrazione "perfetta" del modello sull'immagine originale, in quella zona i valori si aggirano mediamente intorno ai -100 ADU). Al contrario, verso Est (colorazione verde azzurro) i valori sono ben oltre i +100 ADU e questo può suggerire una concentrazione di polveri maggiore rispetto a quella contenuta nel modello
2. Su piccola scala si nota un lobo molto luminoso verso Ovest, con intensità che a volte superano i 2000 ADU e due lobi in direzione Nord e Sud con intensità ancora una volta negative ( < -100 ADU). E' chiaro che nel primo caso si tratta di una zona con forte concentrazione di polveri, sempre rispetto al modello della chioma, mentre più misteriosa è la geometria dei due lobi poveri di polveri in direzione Nord-Sud.

Tuttavia una conformazione geometrica della chioma del tutto simile a questa (visibile qui), anche se per un'altra cometa e su una scala un po' più piccola, è stata ripresa dall'Hubble Space Telescope e successivamente elaborata (con un filtro immagino simile al mio M.C.M.) da Harold A. Weaver della Johns Hopkins University.

Comet 103P/Hartley 2

Dopo un lungo periodo di assenza, rieccomi di ritorno con una cosa un po' particolare. Lasciamo da parte per il momento le teorie di base dell'elaborazione di immagini digitali e vediamone un'applicazione pratica e in un certo senso "avanzata".
L'occasione mi è stata data dalla straordinaria possibilità di utilizzare delle immagini di un telescopio di 2 metri di diametro collocato alle Hawaii, il Faulkes Telescope North (o più brevemente FTN), mentre l'oggetto delle indagini è il recente passaggio ravvicinato alla Terra della cometa 103P/Hartley 2.
Molti telescopi terrestri sono puntati in queste notti sulla cometa anche per dare un certo supporto all'imminente missione Epoxi, una sorta di estensione della vecchia missione Deep Impact che ha avuto tanto successo qualche anno fa con l'incontro ravvicinato (con collisione pilotata!) sulla cometa Tempel 1.
Un osservatore britannico, Nick Howes, che qui ringrazio per la squisita disponibilità, sta seguendo con assiduità e da parecchi giorni questa cometa utilizzando in remoto il FTN: un tipico risultato è questo (appena scaricata ;-)...):

010-11-01T14:25:48.510 UTC - 5 sec. Filter: Bessell-R

Anche se non sembra a prima vista, si tratta di un piccolo quadrato di cielo di appena 4.9'x4.9' e la scala del CCD è veramente interessante: appena 0.2785 arcsec/pixel. In base alle effemeridi, alla distanza proiettata della cometa in quella data, ogni pixel rappresenta soltanto 29 km! (seeing delle Hawaii permettendo...).
Queste immagini mi permettono di sperimentare il funzionamento di un "filtro" particolare che ho implementato come plug-in del programma Astroart: l'ho pomposamente chiamato M.C.M. ovvero Median Coma Model.
La logica di funzionamento è molto semplice e la spiegherò in dettaglio in uno dei prossimi post: si tratta di creare una chioma artificiale, basata comunque dalla fotometria dell'immagine originale, e di sottrarla all'immagine originale stessa in modo da evidenziare le zone interne di differente luminosità: zone molto interne e vicine al nucleo che normalmente sarebbero nascoste dal bagliore diffuso della chioma. Ma bando alle chiacchiere e vediamo subito i risultati.

Innanzitutto occorre precisare che il filtro lo applichero in un'area molto più piccola delle immagini originale, un'area che sarà di poco meno di 1'x1' come rappresentato nell'immagine qui sotto:


Tutte le immagini sono correttamente orientate, con il Nord in alto e l'Est a sinistra.

Ecco la prima elaborazione:

Innanzitutto notiamo che ho dovuto utilizzare una rappresentazione in falsi colori per evidenziare al meglio le variazioni di intensità luminosa. In alto a sinistra, oltre all'orientamento è indicata anche la direzione del Sole (con l'angolo rispetto al Nord). In basso a sinistra il segmento bianco rappresenta la scala dell'immagine sul piano della cometa ovvero quanto sono grandi 1000 chilometri. Ma cosa rappresenta questa immagine? In direzione antisolare (dal centro in basso a destra), si vede la parte più luminosa della chioma che si allunga per formare la coda. Ma la cosa più interessante è in direzione solare (dal centro in alto a sinistra) dove è evidente una sorta di "sbuffo" (possiamo chiamarlo"jet"?) con un PA (Position Angle) di circa 50 gradi.
Vi domandate com'era l'immagine originale? Eccola, già ritagliata nel frame da 1'x1': è la somma di 9 immagini da 10 secondi riprese con il filtro "sdss-r":


Ed ora, in rapida sequenza ecco le altre 4 date (13-14-15 e 16 ottobre) che ho potuto elaborare:

36 se. con filtro V di Bessel : ...oops il "jet" è scomparso

125 sec. con filtro "sdss-r": ricompare il "jet" con un PA di 45 gradi circa

65 sec. con filtro "sdss-i": il "jet" ha ora un PA di circa 90°

5 sec. con filtro "sdss-i". Purtroppo il rapporto Segnale/Rumore sfavorevole si fa sentire ma è lo stesso apprezzabile la presenza del "jet" con un PA maggiore di 90°

Per il momento è tutto. Nei prossimi post vedremo cos'altro ci riserverà questa cometa e anche come si realizza (e applica) il filtro M.C.M.

L'istogramma

L'istogramma di un'immagine digitale è una rappresentazione grafica del numero di pixel presenti per ogni valore di intensità.

Trovo utile spiegare meglio questo concetto con una semplice analogia: immaginiamo di creare un'immagine con i valori delle monete della nostra valuta: ogni moneta rappresenta una porzione elementare dell'immagine (associabile a ciò che normalmente chiamiamo "pixel") e ad ogni moneta è ovviamente associato un valore in centesimi di Euro o in Euro (associabili a ciò che normalmente chiamiamo A.D.U. ("Analog to Digital Unit" è l'unità di misura dell'intensità luminosa di un pixel). Chiaramente l'analogia non è perfetta, infatti le monete di valore maggiore non sono le più luminose (forse per questo non sono riuscito a creare un'immagine riconoscibile...)

Comunque sia, ecco qua sopra una composizione che dovrebbe dare l'idea di un'immagine composta da monete.

Qual'è l'istogramma di questa composizione? Molto semplice: basta raccogliere le monete, ordinarle per valore e ridisporle in fila dal valore più basso a quello più alto in modo da individuare immediatamente quali sono i valori maggiormente presenti nell'immagine.

Si vede chiaramente che i valori maggiormente presenti sono quelli da 1 e 2 centesimi, mentre quelli meno frequenti sono da 5 centesimi e da 2 Euro.

Dunque l'istogramma altro non è che una "distribuzione di frequenze" ordinata dal valore più piccolo al valore più grande.

Ma definizione matematica a parte, di che utilità pratica può essere un'istogramma?
Per la normale fotografia terrestre l'istogramma può indicare ad esempio se il soggetto è troppo "sovraesposto" o al contrario "sottoesposto": nel primo caso si noterebbe un picco di valori nella zona a destra dell'istogramma, quella cioè corrispondente ai pixel più luminosi, nel secondo caso al contrario il picco di valori lo avremo a sinistra dell'istogramma. L'istogramma chiaramente dipende però anche dal soggetto della foto, in particolar modo nel caso delle fotografie astronomiche. Vediamone un paio di esempi confrontati con una normale fotografia "terrestre". Per semplificare la trattazione tutti gli esempi sono in bianco e nero e trasformati a 8 bit (256 livelli di grigio).

La prima immagine è un classico oggetto diffuso astronomico: una cometa. Anche in caso di soggetti diversi come galassie o nebulose, tuttavia, l'istogramma non si discosterebbe molto da quello mostrato sulla destra. Abbiamo una forte concentrazione di pixel poco luminosi, ovvero sulla sinistra dell'istogramma seguito da un graduale presenza di pixel via via più luminosi. La prima concentrazione altro non rappresenta che il numero di pixel del fondo cielo: non a caso il picco si attesta attorno ai valori 12-13 ADU, proprio quelli indicati come valore di fondo cielo dell'immagine (vedi il valore B nella barra di stato sotto l'immagine). La seconda parte dell'istogramma rappresentato dalla "coda" di valori via via più luminosi identifica la chioma e la coda della cometa con le stelle comprese nel campo di ripresa. Si noti poi il picco intorno al valore 255 ovvero il valore più luminoso per un'immagine a 8 bit: si tratta di tutti quei pixel concentrati nelle parti più luminose (e spesso saturate) dell'immagine come la parte centrale della chioma della cometa e la stella saturata in alto a destra.


La seconda immagine tratta un tipico oggetto astronomico esteso come un pianeta: Marte. Si noti subito che in questo caso il fondo cielo dell'immagine è completamente nero (B=0) e questo lo si identifica immediatamente nell'istogramma con il picco verticale in corrispondenza del valore 0. Tutto il resto dell'istogramma rappresenta le variazioni di grigio della superficie del pianeta. I pixel più numerosi sono intorno al valore 150 e rappresentano le superfici più chiare del pianeta mentre quelle più luminose sono concentrate nell'intorno della calotta polare e coprono un range di valori da 230 a 255.

Infine, come terzo esempio, una tipica figura terrestre: un volto umano. In una fotografia correttamente esposta e comprensiva in modo equilibrato di tutta la gamma dei grigi con valori da 0 a 255 l'aspetto dell'istogramma è praticamente piatto.

Il postprocessing 2 - Calibrazione colore

Il nostro obiettivo è semplice ma al contempo ambizioso: desideriamo realizzare un'immagine della nebulosa planetaria a colori e che si avvicini il più possibile alla visione "reale" dell'oggetto, proprio come se ci trovassimo sospesi nello spazio nelle vicinanze di M27.

Utilizzando qualsiasi programma di elaborazione delle immagini, ci rendiamo presto conto che la manipolazione dei colori così come della luminosità o del contrasto, ci porta a creare centinaia di modalità di visualizzazioni, a volte molto differenti l'una dall'altra.
Questi potenti strumenti informatici, più che aiutarci, così come avviene nelle fotografie terrestri tradizionali, in questo caso ci disorientano e ci lasciano perplessi: quali sono i veri colori degli oggetti celesti?

Le nostre incertezze sono dovute al fatto che non abbiamo nella nostra memoria visiva un'immagine "reale" di confronto, come può avvenire per gli oggetti terrestri: il rosso "Ferrari" , per fare un esempio, sappiamo com'è e possiamo più o meno avvicinarci ad esso se abbiamo necessità di equilibrare i colori di una foto sportiva fatta ad un Gran Premio. Con tecniche più oggettive, i fotografi professionisti utilizzano la tecnica del "bilanciamento del bianco" che consiste nell'equilibrare i tre canali RGB fondamentali in modo tale che un oggetto bianco o grigio abbia gli stessi valori di pixel nel rosso, nel verde e nel blu.
Ma il rosso delle emissioni H-alfa presente in tante nebulose (compresa questa) come appare nella realtà? Anche con telescopi di grande apertura e sotto cieli incontaminati è difficilissimo cogliere i reali colori di nebulose galassie e comete perchè i nostri occhi lavorano in regime di bassissima illuminazione: siamo in una situazione di visione scotopica: i nostri occhi faticano a distinguere differenze di cromaticità e tutto quanto ci appare quasi in "bianco e nero" (e questo è possibile constatarlo anche nella normale visione notturna terrestre).

Ma così come esiste un riferimento "terrestre" per il colore bianco, anche in astronomia possiamo utilizzare un "faro celeste" di riferimento: il nostro Sole, o meglio, le stelle che, come il nostro Sole, sono di una ben precisa e determinata classe spettrale: la G2V. Esattamente come la luce del Sole a mezzogiorno (o meglio, allo zenit) viene considerato lo standard per la luce bianca terrestre, le stelle della stessa classe spettrale G2V possono essere prese a riferimento standard per il colore bianco nelle immagini astronomiche.

Un elenco di queste stelle di riferimento lo si può trovare qui, insieme al file .tdf per poterle identificare nel programma GUIDE, ottimo ed economico planetario multifunzione che utilizzo spesso a supporto delle mie osservazioni.

Il nostro set d'immagini di M27 non era però stato acquisito con l'intento di fare della tricromia ad uso "estetico", quindi non abbiamo ripreso una di queste stelle utilizzando lo stesso set strumentale: dobbiamo accontentarci di quello che abbiamo (accade spesso, purtroppo!)
Per continuare questo breve tutorial possiamo però fare una ragionevole approssimazione: cercare nel campo inquadrato una stella di classe spettrale molto vicina a quella di riferimento.


Aiutiamoci ancora una volta con GUIDE: questo programma può rappresentare le stelle con il colore corrispondente alla classe spettrale d'appartenenza (vedi sopra) ed è sufficiente cliccare con il tasto destro sulla stella per leggerne le informazioni disponibili: le stelle di classe G sono rappresentate in giallo e notiamo subito che ci possono essere due candidate a Est della nebulosa. Quella più in basso, molto luminosa, la dobbiamo subito scartare in quanto risulta sempre sovresposta, mentre quella un po' più in alto, appena al di sotto della variabile DQ Vulpeculae, è quasi perfetta: si tratta della HD 345452 ed è di classe spettrale G5, un pizzico più "arancione" del nostro Sole. Certamente questa piccola differenza non avrà un effetto tangibile nel nostro processo di calibrazione colore.


Abbiamo un'ulteriore fortuna: al momento della ripresa del set di immagini, M27 era ad oltre 70 gradi sopra all'orizzonte, quindi risulta praticamente nullo ogni effetto di arrossamento dovuto all'assorbimento atmosferico.

Ora che abbiamo tre immagini RGB equivalenti (stesso tempo d'esposizione) dello stesso oggetto ripreso con lo stesso identico set strumentale e per di più nella stessa serata, senza che l'oggetto abbia cambiato significativamente la propria altezza sul cielo, possiamo procedere al calcolo dei coefficienti per la correzione del colore tenendo come riferimento la stella HD 345452. L'operazione è molto semplice: per ogni immagine R, V e B si misurano i flussi in ADU della stella campione, utilizzando ad esempio la finestra di zoom ed utilizzando il puntatore a "corona".


Nell'immagine sopra possiamo vedere come avviene la misura del flusso stellare: si sceglie un raggio per l'apertura centrale in pixel in modo tale da contenere la maggior parte del flusso stellare (in genere si sceglie un'apertura pari a 4-5 volte la FWHM della serata). Sulla barra di stato della finestra compaiono tre numeri V, S e B: si tratta rispettivamente del flusso al netto del valore di fondo cielo, del flusso comprensivo del fondo cielo ed infine del valore locale del fondo cielo. Annotiamo il valore V per le tre immagini in R, G e B:

VR = 334173 ADU
VG = 211426 ADU
VB = 103364 ADU

Calcoliamo i pesi dei colori rispetto, ad esempio, al canale del rosso otteniamo:

R = 334173 / 334173 = 1,00
G = 334173 / 211426 = 1,58
B = 334173 / 103364 = 3,23

Sostituendo questi tre coefficienti a quelli corrispondenti calcolati in automatico da Astroart nella finestra di Tricromia, otteniamo finalmente l'immagine con i colori bilanciati rispetto ad una stella di classe spettrale simile al nostro Sole (vedi qui in basso).


Se andiamo a confrontare l'immagine qui sopra con quella bilanciata in modo automatico da Astroart noteremo una certa differenza: in questo caso il bilanciamento automatico ha privilegiato i canali verde e blu.

Nell'immagine sopra, correttamente equilibrata con una stella di classe spettrale simile a quella del Sole, la maggior parte delle stelle appaiono giallo-arancione; quella utilizzata per il calcolo dei coefficienti appare perfettamente bianca, mentre, indagando più a fondo, vi sono alcune stelle con colori del tutto particolari, dal rosso acceso all'azzurro al blu (vedi immagine sotto).

1 - Variabile DQ Vul: si tratta di una gigante rossa, variabile del tipo "Mira". La stella bianca in basso alla sua destra è la nostra stella di riferimento HD 345452, utilizzata per il bilanciamento dei colori.

2 - La stella centrale di M27 è una nana bianca e appare di un deciso colore azzurognolo.

3 - Variabile "Goldilocks": è con ogni probabilità una variabile a lungo periodo della classe "Mira". La particolarità che distingue questa stella è la curiosa circostanza che ha portato alla sua scoperta: pensate che è stata identificata per la prima volta da un astronomo dilettante della Repubblica Ceca confrontando ... due copertine di riviste astronomiche!

4 - Una misteriosa stella che si contraddistingue per il deciso colore blu.

Nel grafico in alto una raccolta di spettri di stelle di differente classe spettrale: ogni spettro è stato separato nella scala della luminosità relativa per evitare sovrapposizioni (dati tratti da Pickles 1998).
Come si vede le stelle emettono radiazioni luminose su tutta la banda dello spettro visibile: il colore (ovvero la temperatura superficiale) è determinato dalla posizione del picco di luminosità.

Le nebulose planetarie però, così come i resti di supernove o le zone di formazione stellare nelle galassie, emettono le radiazioni su bande molto più isolate e ristrette: si dice che hanno uno spettro di "emissione", caratterizzato da righe di luminose generate da elementi ionizzati, specialmente l'idrogeno e l'ossigeno. Il colore di questo tipo di oggetti dunque è fortemente caratterizzato da queste "discontinuità" nelle emissioni di radiazione e soprattutto dal nostro "sistema di visione" ovvero dal telescopio, dalla camera CCD e, soprattutto, dai filtri utilizzati per la ripresa.
Per renderci conto meglio di questo meccanismo è conveniente costruire un grafico: fatta 100 una ipotetica intensità di emissione della riga spettrale, o di trasmissione di un filtro o di efficienza quantica della nostra camera CCD, possiamo disegnare rispettivamente:

le righe di emissione più importanti della nostra nebulosa planetaria (Hbeta a 486,1 nm, OIII a 495,9 e 500,7 nm e Halfa a 656,3 nm) rappresentate da delle rette continue verticali;
le curve di trasmissione dei filtri B, V ed R rappresentate da delle curve tratteggiate;
l'efficienza quantica dell CCD (Q.E) rappresentata da una curva continua di colore fucsia.


La riga di emissione dell'ossigeno 2 volte ionizzato OIII sui 500,7 nm è di gran lunga la più intensa e perciò quella che domina la luminosità e il colore della nebulosa. La seconda riga più importante come intensità è quella dell'idrogeno per la transizione H alfa a 656,3 nm. Notiamo che quest'ultima cade praticamente in modo esclusivo sotto l'area del filtro rosso, come è giusto che avvenga dato che è ad una lunghezza d'onda dello spettro luminoso decisamente nel rosso.
Diversa e più delicata è la situazione per la riga dell' OIII sui 500,7 nanometri: notiamo che cade nella zona di interferenza dei due filtri B e V: infatti, si nota anche nella scala cromatica in riportata in ascissa, i 500 nm sembrano separare quasi esattamente la zona blu dalla zona verde dello spettro cromatico. Purtroppo questa dicotomia perfetta non è rappresentata altrettanto bene dai filtri utilizzati: infatti la riga dell' OIII viene intercettata dal filtro V intorno al 50% della sua intensità relativa. La stessa riga però è intercettata dal filtro B solo per il 7% della sua intensità relativa! Ecco perchè la nebulosa ci appare così verde!
Per riequilibrare un po' le cose dobbiamo dare lo stesso peso del verde al filtro blu, ovvero, con una semplice proporzione B = 0,5/0,07 = 7,14.

Torniamo quindi alle nostre 3 immagini in R V e B della nebulosa e attraverso il comando Tricromia di Astroart applichiamo i seguenti coefficienti:

R = 1,00
G = 1,00
B = 7,14

Il risultato? Eccolo qui sotto.


Se affianchiamo le due immagini centrate sulla nebulosa possiamo apprezzare ancor meglio le differenze.

Dunque, ricapitolando: abbiamo tentato una prima calibrazione dei colori con la tecnica della stella campione di classe spettrale simile al nostro Sole ovvero una stella G2V. Le stelle apparivano con colori compatibili con le loro classi spettrali ma la nebulosa manteneva una forte tonalità verde: è così anche nella realtà? Probabilmente no. Infatti abbiamo visto che queste nebulose, a differenza delle stelle, emettono essenzialmente su righe ben definite dello spettro elettromagnetico. In particolare, M27 presenta una forte emissione sulla riga dell'ossigeno tre volte ionizzato [OIII] che ha la peculiarità di emettere intorno ai 500 nanometri, cioè proprio in mezzo al passaggio dal blu al verde dello spettro elettromagnetico.
Tutto dipende quindi da come agiscono i filtri B e V(=G) utilizzati.
In particolare, il filtro V utilizzato per questo set di riprese, cattura almeno il 50% dell'emissione a differenza del filtro B che ne registra solo il 7% (a parità ovviamente del tempo d'esposizione). Per riequilibrare i colori (cioè portare al 50% anche il contributo del filtro Blu) abbiamo quindi moltiplicato il coefficiente colore del filtro Blu per un opportuno fattore (nel nostro caso B = 0,5/0,07 = 7,14 mantenendo R = 1 e V = 1).
Poichè ogni filtro è diverso (persino gli stessi filtri della medesima casa produttrice presentano delle leggere differenze) occorre determinare l'influenza di questi rispetto alla riga dell'OIII e ridefinire i coefficienti RGB del colore.
Così facendo, tuttavia, torniamo a squilibrare i colori delle stelle.
Ne deriva che, con sole 3 immagini RGB non potremmo mai realizzare un'immagine con nebulosa e stelle contemporaneamente equilibrate nei colori.
In realtà si potrebbe correggere l'immagine con del pesante fotoritocco (ma non è questo il nostro scopo), oppure, ancora più complesso e costoso, si può correggere utilizzando una quarta immagine, realizzata con un filtro a banda stretta sui 500,7 nm, da aggiungere o nella banda blu o nella banda verde, dopo aver effettuato la calibrazione colore delle stelle con il metodo G2V.