Campionamento e potere di separazione

Dimentichiamoci per un momento di tutte le problematiche relative al seeing e alla qualità delle ottiche e ragioniamo esclusivamente su basi teoriche: una delle prime cose che si imparano quando si vuole acquistare un telescopio è il cosidetto Limite di Dawes:

a" = 115/D

dove a" è l'angolo minimo risolvibile o minimo dettaglio osservabile in arcosecondi, 115 è una costante che si applica in caso di sistemi ottici perfetti (costante di Dawes) e D è dell'obiettivo in millimetri. E' d'uso pratico utilizzare 120 come costante di Dawes, anzichè 115, in quanto quest'ultimo valore si riferisce nel caso teorico di ottiche perfette.

Questa semplicissima formula è una diretta conseguenza di un fenomeno ottico ben conosciuto: la diffrazione. Qualsiasi fenomeno fisico di tipo ondulatorio, come il suono o le onde elettromagnetiche come la luce, subisce fenomeni d'interferenza quando passano attraverso una fenditura o ad un foro.
Una situazione del tutto analoga si verifica nel caso in cui un fascio di luce parallelo proveniente da una sorgente puntiforme viene fatta focalizzare nel piano focale di un sistema diottrico o di uno specchio parabolico. In questo caso non si avrà un punto immagine, ma un dischetto circondato da anelli alternativamente chiari e scuri, ossia una figura di diffrazione. In realtà si tratta dell'immagine miniaturizzata dell'obbiettivo: normalmente gli obbiettivi sono circolari, ma se, per ipotesi, un ottico si divertisse a costruire una lente o uno specchio a sezione quadra l'immagine di una stella sul piano focale ne riprodurrebbe le fattezze divenendo essa stessa quadrata!

Anche in ottime condizioni atmosferiche è molto difficile vedere oltre il primo anello brillante; anzi, riuscire a notare quest'ultimo è indice di una buona fattura dell'obbiettivo: solo se le superfici ottiche sono perfettamente liscie, ovvero con asperità che non superano la grandezza di 1/4 della lunghezza d'onda della luce incidente, si può avere la possibilità di osservare la figura di diffrazione.
Per determinare il potere di separazione di uno strumento ottico occorre determinare la grandezza di questa figura di diffrazione: il raggio lineare a del primo minimo (l'anello scuro tra la centrica e il primo anello luminoso) è dato dalla formula:

a = 1.22 · l / D

con l la lunghezza d'onda, D il diametro dell'obbiettivo e 1.22 è una costante.
Per esprimere il valore in secondi d'arco, occorre moltiplicare per 206265 (i secondi d'arco contenuti in un radiante):

a'' = (1.22 · l · 206265) / D

Se esprimiamo tutto in millimetri e attribuiamo a l il valore al quale l'occhio è maggiormente sensibile (circa 0.56 micron) otteniamo la nota espressione:

a'' = 135 / D

chiamata Limite di Rayleigh.

Tuttavia, se consideriamo che nella figura di diffrazione l'85% della luce si concentra nella centrica, e che il rimanente va a cadere sugli anelli brillanti — che usualmente non si vedono salvo, al limite, il primo — è possibile nella pratica guadagnare un 15% sul valore minimo di separazione; in tal caso l'espressione precedente diviene:

a'' = 120 / D

chiamata appunto Limite di Dawes.

Teniamo presente che si tratta di un potere di separazione angolare più che un potere di risoluzione, particolarmente efficacie nel caso di dover distinguere due stelle di eguale colore ed intensità luminosa. Vedremo che non è esattamente quello che normalmente intendiamo come potere risolutivo, ovvero la capacità di discernere i particolari più piccoli di un oggetto.

Esempio: il telescopio C14 ha un diametro di 355 mm. Il suo potere risolutivo secondo la Legge di Dawes è di 115/355 = 0.34 secondi d'arco.

Attraverso le regole del campionamento abbiamo visto che per risolvere "un dettaglio nel piano bidimensionale" della nostra immagine occorrono almeno 4 fotoelementi per ciascuna dimensione, quindi il lato di ciascun fotoelemento quadrato deve sottendere 0.34/4 = 0.085 secondi d'arco. Purtroppo non è possibile cambiare a piacere le dimensioni dei fotoelementi del nostro sensore (a parte l'utilizzo del binning con il quale possiamo solo ingrandirli).

Possiamo però facilmente agire sulla focale del telescopio.

Se indichiamo con d la dimensione del fotoelemento, che focale occorre per ottenere il campionamento desiderato C = 0.085? Dalla relazione sul campionamento è semplice ricavare la formula:

Esempio: la fotocamera Audine monta un sensore KAF-0401E della Kodak composto da 768 x 512 fotoelementi quadrati da 9 micron di lato. Che focale occorre utilizzare per ottenere un campionamento di C = 0.085 secondi d'arco? L = 206265 (0.009/0.085) = 21840 mm. Il che equivale a lavorare con un'apertura f =L/D = 21840/335 = 65.2 ! Utilizzando invece la webcam Philips Toucam Pro con fotoelementi da 5.6 micron la focale necessaria diventa di circa 14700 mm e la corrispondente apertura diverrà f = 44 .

Ma sono davvero necessari dei campionamenti e delle aperture così spinte per lavorare in alta risoluzione? Proviamo a vedere un esempio reale messoci gentilmente a disposizione da Giorgio Mengoli, un bravissimo astrofilo dedicato da anni all'alta risoluzione.

15.03.2007 Saturno: webcam Toucam Pro (15fps)/ S.C.280mm / IRcut / Barlow AE-3X / Courtesy G. Mengoli

La straordinaria immagine di Saturno visibile qui sopra (probabilmente è difficile ottenere di meglio con la stessa strumentazione) è stata ottenuta in un piccolo paese della bassa pianura modenese, San Felice s/P (Modena) con una webcam Philips Toucam Pro applicata a un Schmidt-Cassegrain C11 Celestron®. Il C11 è un 280 mm di diametro a f/10: in questo caso è stata applicata una Barlow 3x che l'ha portato a f/30. Che campionamento e che focale equivalente è stata utilizzata per realizzare questa foto? La lunghezza focale equivalente si calcola facilmente con 280x30=8400 mm. e conseguentemente il campionamento, tenendo conto che la Toucam Pro ha fotoelementi quadrati di 5,6 micron di lato, sarà C=206265·(0.0056/8400)=0.14 secondi d'arco per fotoelemento.

Il limite di Dawes in questo caso ci dice che può risolvere stelle o particolari con una separazione angolare di 0.4 secondi d'arco. Secondo il criterio del campionamento dovremmo lavorare con C = 0.4/4 = 0.10 secondi d'arco per fotoelemento, un valore quindi del tutto confrontabile con quello utilizzato da Mengoli. E questo trascurando i fattori (peggiorativi!) del seeing e delle ottiche e dei possibili errori nella messa a fuoco.

Il potere di separazione non tiene comunque in considerazione altri effetti che possono in alcuni casi addirittura migliorare le capacità visive dei nostri occhi come il contrasto. Esistono infatti delle testimonianze sia visive che oggettive che ad es. è possibile osservare l'ombra di un satellite di Giove (Europa 0,6") con un 80 mm (quindi con un potere di separazione teorico di soli 115/80 = 1,4"). In tali condizioni favorevoli di contrasto (ombra nera e netta di un satellite sulla superficie luminosa di Giove), il vero potere risolutivo sembra superare di oltre due volte il potere teorico di separazione!