lunedì 1 ottobre 2007

Sfatiamo un mito: il criterio di Nyquist


Harry Nyquist (1889 - 1976)

Per carità... lungi da me l'intenzione di voler mettere in dubbio i risultati di questo straordinario scienziato di origini scandinave. Piuttosto occorre sempre fare attenzione ai tam tam della rete che spesso, anche se inconsapevolmente, deformano in modo brutale la realtà fisica delle cose. Se questo avviene per la fisica rabbrividisco al pensiero di quello che può circolare in politica, economia, ecc...

Con l'avvento dell'era digitale è diventato di fondamentale importanza capire come avviene la digitalizzazione dei segnali: digitalizzare infatti significa discretizzare (o campionare) e discretizzare in genere significa perdere informazioni: un'onda sinusoidale continua, es. un'onda sonora, diventa un'onda seghettata, un'immagine con profili morbidi e naturali diventa sgranata e dall'aspetto innaturale.

Il criterio di Nyquist definisce una regola importante per tutte le operazioni di campionamento: esso stabilisce che, dato un segnale, con larghezza di banda finita e nota, la frequenza minima di campionamento di tale segnale deve essere almeno il doppio della sua massima frequenza.

Nyquist pensò al teorema del campionamento riferendosi a dei segnali analogici spaziali monodimensionali come il suono o i segnali elettrici che sono caratterizzati da due grandezze, l'intensità e la frequenza: quest'ultima come l'unica grandezza spaziale in gioco. Una applicazione dei giorni nostri del suo principio è ad esempio la musica digitale con i suoi formati tra i quali il diffusissimo mp3. Non a caso la frequenza media di campionamento di un file mp3 è di 44.1 kHz praticamente il doppio delle massime frequenze udibili dall'orecchio umano (20 kHz) che è il nostro sensore (analogico) eletto alla percezione dei suoni.

Differente però è la questione nel caso di immagini su un piano: oltre all'intensità (luminosità in questo caso) occorre campionare due coordinate spaziali, la larghezza e l'altezza che delimitano la superficie dei fotoelementi: è quindi un problema di segnale analogico spaziale bidimensionale.

Con dei semplici esempi è possibile vedere che in questo caso bidimensionale il criterio di Nyquist in realtà a noi astronomi dilettanti ci sta un po' stretto...

Primo caso: il campionamento è uguale al potere risolutivo dell'ottica (esempio: il disco stellare ha un diametro di 4" e il campionamento è di 4" per fotoelemento).
Il disco stellare, in giallo, può essere esattamente inscritto nel perimetro del fotoelemento (sopra) oppure cadere esattamente al centro dell'intersezione di 4 fotoelementi (in basso). Come è possibile vedere a destra del segno uguale, nella rappresentazione dei pixel che compongono la relativa immagine digitale, la forma del disco stellare è indistinguibile in entrambi i casi e a maggior ragione è impossibile avere una separazione ottica di due oggetti.

Secondo caso: il campionamento è pari alla metà del potere risolutivo dell'ottica ovvero soddisfa il criterio di Nyquist.
Il disco stellare può cadere esattamente al centro di un fotoelemento coprendo in parte i 6 fotofotoelementi adiacenti oppure cadere esattamente sull'intersezione di quattro fotoelementi. Per quest'ultimo caso, come è possibile vedere nella rappresentazione dell'immagine digitale, il disco stellare non appare ancora distinguibile come non appaiono separabili i due oggetti posti al limite della risoluzione ottica. Il primo caso invece è più favorevole anche se la separazione appare ancora ambigua.

Terzo caso: il campionamento è pari ad 1/4 del potere risolutivo delle ottiche (esempio il disco stellare ha un diametro di 4" e il campionamento è di 1" per fotoelemento.
Sia che il centro del disco stellare coincida con il fotoelemento, sia che coincida con l'intersezione di 4 fotoelementi, la forma circolare e la separazione degli oggetti appare inequivocabilmente distinguibile.

In sostanza, il miglior campionamento per registrare un segnale spaziale bidimensionale come può essere appunto un'immagine, è pari ad 1/4 del segnale minimo (nel nostro caso stabilito dal potere risolutivo) che possiamo rilevare con le nostre ottiche.

Ma, ahimè, non è finita qui: noi "poveri" astronomi dilettanti non raggiungeremo mai i limiti teorici dati dalle ottiche dei nostri seppur perfetti telescopi. Il nostro limite è il cielo, ovvero il seeing direttamente misurabile con la FWHM di una stella campione.

Dunque, la miglior camera CCD o CMOS per il nostro telescopio sarà quella che risolverà il seeing per almeno 1/4 della sua dimensione spaziale (FWHM). Purtroppo, o per fortuna, il seeing oltre a dipendere fortemente dal luogo d'osservazione, non è una costante del luogo ma subisce parecchie variazioni anche nell'arco di una sola notte. Dobbiamo quindi ragionare per "seeing medio" cioè il seeing che mediamente ci possiamo aspettare durante una serata d'osservazione nel nostro sito.

Conoscendo il seeing medio è possibile impostare una tabella d'uso pratico

Ora, possiamo vedere che, proseguendo l'analisi dell'esempio precedente dell'Osservatorio di Cavezzo, considerando per esso un seeing medio di 3.5 arcosecondi, il campionamento ideale diverrebbe in questo caso di 0.875 arcosecondi/fotoelemento. In realtà abbiamo un campionamento di 2.24 arcosecondi/fotoelemento quindi mediamente si lavora sottocampionati di almeno due volte e mezzo! Quando invece al fuoco Newton si monta la camera CCD Audine con fotoelementi da 9 micron, si raggiunge il campionamento quasi perfetto, essendo di 0.840 arcosecondi per fotoelemento.

4 commenti:

Paolo Maria Ruscitti ha detto...

Ciao,

eccomi con una nuova domanda, questa volta direi "problema di scelta". Ho letto questo tuo interessante post sul criterio di Nyquist applicato ai sensori bidimensionali. Io riprendo con un tipico Newton con 200 mm di apertura e 1000 mm di focale. Il mio sito presenta un seeing medio intorno a 4". Al momento utilizzo un CCD non adatto, poiché i fotoelementi hanno una dimensione di circa 0.011 mm con un campionamento, quindi, di 2.27", però per ora non posso fare diversamente. Avrei intenzione di acquistare a breve un nuovo CCD. La scelta è tra uno con dimensione dei fotosensori di 0.00645 mm (sensore Sony ICX-205AL)e uno con dimensione 0.00465 mm (sensore Sony ICX-285AL). Stando alla teoria sarebbe più adatto il secondo. Tu cosa ne pensi, ovviamente il tuo parere non è assolutamente impegnativo, ma volevo sentire una "campana" più esperta di me.
Grazie. Paolo Maria Ruscitti

Paolo Maria Ruscitti ha detto...

Nel precedente post ho invertito i sensori, il Sony ICX-205AL ha fotosensori da 0.00465, mentre il Sony ICX-285AL fotosensori da 0.00645.
Scusate!

Martino Nicolini ha detto...

Ciao Paolo,

sono entrambi sensori con pixel comunque molto piccoli da un punto di visto pratico. Non devi pensare di poter lavorare sempre al limite della risoluzione (per cosa poi? Vuoi sempre fare dei pianeti?) Occorre pensare anche alla sensibilità e al campo di ripresa che con pixel molto piccoli in genere vengono penalizzate. Un KAF 1600 ad esempio con pixel di 9x9 micron e un campo più che dignitoso di ben 31 x 47 minuti d'arco e 1,85 arcsec/pixel di campionamento sarebbe certamente più utile per i tuoi scopi. E' vero, non "spacchi il capello in 4" dal punto di vista della risoluzione ma è anche vero che avresti pochissime eccezionali situazioni per sfruttarla al meglio.
M. Nicolini

Paolo Maria Ruscitti ha detto...

Grazie Martino, confermi le mie impressioni. Il problema è che il KAF viene montato su CCD molto costose (almeno per il mio budget) mentre i Sony si trovano anche su CCD più "abbordabili". In particolare l'ICX-285AL con i fotosensori da 6,45x6,45 micron.